on a pour tout ` x in R ` `(x-16)P(2x) = 16(x-1)P(x) `
pour ` x= 16 ` on trouve `0= 16xx15P(16) => p(16)= 0 ` alors ` x-16` divise `P(x)`
pour ` x= 1 ` on trouve `(-15)P(2)= 0 => P(2)= 0 ` alors ` x-2` divise `P(x)`
pour ` x= 2 ` on trouve `-14P(4)= 16xxP(2)= 0 => P(4)= 0 ` alors ` x-4` divise `P(x)`
pour ` x= 4 ` on trouve `-12P(8)= 16xx3P(4)= 0 => P(8)= 0 ` alors ` x-8` divise `P(x)`
alors il existe un polynome ` R(x) ` tel que
`P(x)= (x-2)(x-4)(x-8)(x-16)R(x) `
`=> P(2x)= (2x-2)(2x-4)(2x-8)(2x-16)R(2x) `
`=> P(2x)= 16(x-1)(x-2)(x-4)(x-8)R(2x) `
`=>(x-16) P(2x)= 16(x-1)(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)R(2x) ` (xx)
d'autre part `16( x-1)P(x) = 16(x-1)(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)R(x) ` (xxxx)
or `(x-16)P(2x) = 16(x-1)P(x) `
on déduit de (xx) et (xxxx) que `R(2x) = R(x) `
Montrons que `R` c 'est une constante
on pose `R(X)= a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+......+a_0`
alors `R(2x) = 2^n a_nx^n+2^(n-1)a_(n-1)x^(n-1)+......+a_0`
donc `R(2x) = R(x) ` équivalent à dire que pour tout ` i in N ` tel que `1<= i <= n ` : `2^i a_i = a_i `
équivalent à ` a_i = 0 ` pour tout ` i in N ` tel que `1<= i <= n `
alors `R(x) = a_0`
et par suite `R` est un polynome constant
donc `P(x)=a_0(x-2)(x-4)(x-8)(x-16) ` avec `a_0 in R `
et on vérifie facilement que les polynomes de type `P(x)=(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)a_0 ; a_0 in R ` vérifient l'équation
alors les polynomes à coefficients réels vérifiant l'équation sont les polynomes
`P(x)= a_0(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)` avec `a_0 in R `